Расскажу вам об очень занимательной игре, в которой может участвовать большое число играющих. Выбирают ведущего, который задумывает слово — название любой вещи, но не имя собственное. В задуманном слове он переставляет буквы в произвольном порядке и предлагает его в таком виде товарищам для отгадывания. Например, если задумано слово «арбуз», то после перестановки букв получают «заруб» или «бурза». По этому «зарубу» или «бурзе» остальные участники игры должны отгадать задуманное слово. Кто отгадает первый, тот получает одно очко и сам становится загадчиком. Игра кончается, когда кто-нибудь из играющих наберет 10 очков: он и считается победителем в состязании.

Дадим несколько примеров. Отгадайте задуманное слово по сочетанию «аталоп». Это нетрудно — «лопата». Но вот сочетания посложнее:

Возвращаясь из театра, три брата подошли к рельсам конки, чтобы вскочить в первый же вагон, который подойдет. (Конка — не трамвай; вскочить в вагон конки нетрудно.)

Вагон не показывался, и старший брат предложил подождать.

— Чем стоять и ждать, — ответил средний брат, — пойдем лучше вперед. Когда вагон догонит нас, тогда и вскочим; а тем временем часть пути будет уже за нами — скорее домой приедем.

— Если уж идти, — возразил младший, — то не вперед по движению, а обратно: тогда нам скорее попадется встречный вагон; раньше и домой прибудем.

Так как братья не могли убедить друг друга, то каждый поступил по-своему: старший остался ожидать на месте, средний пошел вперед, младший — назад.

Кто же из троих приехал раньше домой? Кто из них поступил благоразумнее?

Двое считали в течение часа всех прохожих, которые проходили мимо них по тротуару. Один из считавших стоял у ворот дома, другой прохаживался туда и назад по тротуару.

Кто насчитал больше прохожих?

Мы знаем, что Земля безостановочно вертится с запада на восток. Нельзя ли воспользоваться этим, чтобы быстро и дешево путешествовать на восток таким, например, способом: подняться над Землей в воздушном шаре и там переждать, пока вертящаяся Земля сама подкатит место, куда мы хотим попасть?

А как только под шаром будет это место, тогда и спуститься вниз. Так можно путешествовать куда угодно на восток, не сдвигаясь с места. Надо только не прозевать время, когда спускаться, — иначе нужное место пронесется на запад, и придется целые сутки ждать, пока оно опять подвернется. Чем нехорош этот способ путешествия?

Бывают ли на Земле январские жары и июльские морозы?

Положите на стол три спички и предложите товарищу, не прибавляя ни одной спички, сделать из этих трех спичек четыре.

Ломать спички нельзя.

Едва ли он догадается, в чем состоит неожиданное решение этой задачи.

В чем же?

Если вы знаете, как решается предыдущая задача, то без труда одолеете и такую:

На столе лежат три спички. Прибавьте к ним еще две и получите… восемь!

Можно ли поставить на палец карандаш так, чтобы он устойчиво держался на своем очиненном конце? «Устойчиво» — значит долго и притом так, что если отвести карандаш в сторону, он не только не опрокинется, но примет снова прежнее положение.

Казалось бы, удержать так карандаш на пальце невозможно. Но подумайте: может быть, вы догадаетесь, как это сделать.

Трое играли в шашки. Всего сыграно три партии. Сколько сыграл каждый?

I. Кот. Когда кот, выспавшись, поднимается, он изгибает спину горбом.

II. Кот. Если читать справа налево, получится «ток», который бежит по электрическим проводам.

III. Река. В нее вливаются притоки и дождь; из нее вода изливается в море или в другие водоемы.

IV. Двое людей, стоящих на противоположных точках земного шара. Каждый из них считает другого находящимся под ним.

1. Тарелка

2. Техника

3. Приток

4. Иволга

5. Виноград

6. Солнце

7. Человек

8. Одуванчик

9. Кастрюля

10. Мельница

11. Лекарство

12. Зубочистка.

Младший брат, пойдя назад по движению, увидел идущий навстречу вагон и вскочил в него. Когда этот вагон дошел до места, где ожидал старший брат, тот вскочил в него. Немного спустя этот же вагон догнал шедшего впереди среднего брата и принял его. Все трое очутились в одном вагоне — и, конечно, приехали домой одновременно.

Благоразумнее всех поступил старший брат: спокойно ожидая на месте, он устал меньше.

Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя стоявший у ворот считал проходивших в обе стороны, зато тот, который ходил, видел вдвое больше встречных людей.

Описанный способ путешествия совершенно неисполним. Земля вертится не сама по себе, а вместе с воздухом, который ее окружает. Поэтому шар будет увлекаться вращением Земли, т. е. будет все время оставаться над тем местом, с которого поднялся. Если бы воздуха и не было, все подброшенные вверх вещи продолжали бы двигаться по инерции, оставаясь как раз над теми местами земного шара, с которых они брошены. Значит, воздушный шар, сколько бы ни висел над Землей, опустится на то же самое место, с которого он поднялся.

Январские жары и июльские морозы бывают в Южном полушарии Земли, по ту сторону экватора. Когда у нас, в Северном полушарии, зима, тогда в Южном — лето, и наоборот.

Это — шуточная задача.

Вот нехитрое решение этой задачи-шутки:

Чтобы карандаш устойчиво держался на конце пальца, надо воткнуть в карандаш сбоку клинок перочинного ножа, как показано на рисунке. С первого взгляда кажется, что карандаш с таким грузом еще труднее удержать вертикально. Но попробуйте — вы убедитесь, что карандаш очень устойчив.

Обыкновенно отвечают: каждый сыграл по одной партии. При этом забывают, что, когда первые два игрока сыграли одну партию, кто-нибудь из них должен участвовать во второй партии. Значит, невозможно, чтобы каждый из них играл только по одному разу.

Правильный ответ: каждый сыграл две партии.

Где укротитель этого тигра? Его портрет изображен на том же рисунке. Разыщите!

Какая из этих двух фигур шире и какая выше? Дайте ответ, не измеряя фигур бумажкой, а прямо на глаз (как говорится, «по глазомеру»).

Рассмотрите рисунок и сравните на глаз длину трех человеческих фигур. Попробуйте оценить, на какую долю фигура человека, идущего впереди всех, длиннее фигуры идущего сзади.

Попробуйте сказать, что изображает рисунок. Нелегко догадаться, хотя рисунок сделан вполне правильно.

В этом кружке что-то написано. Глядя на него прямо, вы, конечно, ничего не разберете. Однако если взглянуть на кружок умеючи, то можно прочесть два слова. Какие?

На какой ноге стоит футбол ист — на правой или на левой?

По-видимому, он стоит на правой ноге; но с такою же уверенностью можно утверждать, что он стоит на левой ноге. Сколько ни всматривайтесь в рисунок, вы этого вопроса не решите. Художник так искусно замел следы, что вам ни за что не установить, какую ногу поднял футболист и на какую он опирается — на правую или на левую.

Всмотритесь внимательно в этот узор; постарайтесь запомнить его хорошенько, чтобы потом нарисовать по памяти. Запомнили? Ну так принимайтесь рисовать. Сначала наметьте четыре конечные точки, к которым должны примыкать концы извилистых линий. Первую кривую линию вы, вероятно, нарисуете довольно уверенно. Прекрасно! Теперь выводите вторую.

Можете ли вы начертить квадрат с двумя диагоналями одним росчерком, не отрывая пера от бумаги и не проведя ни одной линии дважды?

Заранее могу сказать, что это вам не удастся, откуда бы вы ни начали рисовать и в каком бы порядке ни проводили линии.

Но стоит немного усложнить фигуру, — как здесь показано, — и вам нетрудно уже будет начертить ее одним росчерком пера.

Попробуйте, и вы скоро убедитесь, что задача, прежде совсем не разрешимая, стала легко выполнимой.

Прибавьте еще две дуги по бокам, и задача снова станет неразрешимой: сколько ни бейтесь, а начертить такую фигуру, не отрывая пера, вы не сможете.

В чем же дело? Как узнать заранее, взглянув на фигуру, можно ли ее начертить одним росчерком или нельзя?

Если вы хорошенько подумаете, то, вероятно, и сами догадаетесь, по какому признаку различаются подобные фигуры. Обратите внимание на те точки фигуры, где сходятся или пересекаются несколько линий. Чтобы фигуру можно было начертить одним росчерком, нужно к каждой точке пересечения подойти пером и затем отойти; если вы потом еще раз подойдете к той же точке пером, вы должны от нее и вторично отойти, — иначе черчение оборвется. Значит, в каждой точке фигуры должны сходиться две, четыре, шесть, в общем, четное число линий. Исключение составляют начальная и конечная точки, где, понятно, могут сходиться и нечетное число линий.

Отсюда вывод: только те фигуры можно начертить одним росчерком пера, которые заключают не больше двух точек с нечетным числом сходящихся линий; во всех прочих точках должно сходиться четное число линий.

Рассмотрите теперь наши фигуры. В первой в четырех углах квадрата сходятся по три линии; здесь четыре «нечетных» точки — значит, фигуру эту начертить нельзя. Во второй фигуре во всех точках пересечения сходится четное число линий, — значит, эту фигуру можно начертить одним росчерком. В третьей опять имеем четыре точки, где сходится нечетное число линий (пять); понятно, что такую фигуру начертить одним росчерком нельзя.

Вооружившись этим знанием, вы уже не станете бесполезно тратить время на отыскание способа вычерчивать одним росчерком такие фигуры, которые начертить невозможно.

Внимательно вглядевшись в фигуру, вы заранее скажете, какую можно начертить таким образом и какую нельзя.

Если вы хорошо поняли сказанное, то решите, нельзя или можно начертить одним росчерком ту фигуру, которая здесь показана.

Поверните книжку так, чтобы фонарный столб из стоящего превратился в лежащий. Тогда близ верхнего конца этого столба, между ним и столбом забора, вы увидите голову человека. Туловище его граничит с черным небом.

Глаз тигра служит в то же время глазом укротителя, лицо которого обращено в противоположную сторону.

На глаз кажется, что левая фигура шире и ниже, чем правая. Проверив бумажкой, вы убедитесь, что глаза обманули вас: обе фигуры одинаковы и по ширине, и по длине. Это — «обман зрения».

Все это знакомые вещи нашего обихода, видимые сбоку, с ребра. Вверху — портновские ножницы; под ними — клещи; еще ниже — бритва в сложенном виде. В нижнем ряду, слева направо: вилы, карманные часы и столовая ложка.

Теперь, когда вам известно, что изображают эти рисунки, они уже не покажутся вам такими необычными, как казались прежде.

Поднесите кружок к глазам так, как показано на этом рисунке. Вы ясно прочтете сначала слово «государственное», а затем, повернув кружок, увидите и другое слово — «издательство».

Буквы сильно вытянуты и езжены, поэтому прочесть их прямо трудно. Но когда ваш взгляд скользит вдоль букв, их длина сокращается, ширина же остается прежняя. От этого буквы получают обычный вид, и написанное читается без труда.

Художник изобразил заход молодого месяца в экваториальных странах. Там месяц может при заходе лежать именно так, как изображено на рисунке. Если вы были на Кавказе, вы заметили, вероятно, что молодой месяц там наклонен не так, как на севере. А под тропиками в некоторое время года он совсем ложится. Значит, художник не сделал ошибки, а нарисовал то, что действительно бывает.

Начертить эту фигуру можно, потому что во всех точках пересечения сходятся по четыре линии, т. е. четное их число. Как начертить — показано на рисунке.

Из тех пяти кусочков, которые здесь нарисованы, надо составить фигуру в форме креста.

Как это сделать?

Попробуйте теперь из других пяти кусочков сложить квадрат (см. рисунок).

Этот участок земли составлен из пяти квадратных участков одинаковой величины. Можете ли вы разделить его не на пять, а только на четыре одинаковых участка?

Слыхали ли вы о «китайской головоломке»? Это старинная китайская игра, еще более древняя, чем шахматы: она зародилась несколько тысячелетий назад. Сущность игры состоит в том, что квадрат (деревянный или картонный) разрезают на семь частей так, как показано на рисунке, и из этих частей надо составлять разные фигуры. Это вовсе не так легко, как кажется на первый взгляд. Если вы смешаете семь кусочков «китайской головоломки» и предложите кому-нибудь составить из них снова квадрат, не глядя на рисунок, он справится с этой задачей далеко не сразу.

Двумя взмахами ножниц разрежьте этот крест на четыре части таким образом, чтобы из них можно было составить сплошной квадрат.

Изображенное здесь яблоко надо разрезать на такие четыре части, из которых можно было бы составить фигуру петушка. Как это сделать?

Столяру принесли две продолговатых доски из редкой породы дерева и заказали сколотить из них совершенно круглую доску для стола, да такую, чтобы никаких обрезков дорогого дерева не оставалось. В дело должно пойти все дерево до последнего кусочка. На рисунке вы видите, что принесли столяру: обе доски с дырами посредине.

На озере три острова, которые отмечены на нашем чертеже цифрами 1, 2 и 3. А на берегу расположено три рыбачьих поселка: I, II и III.

На этом чертеже квадрат обозначает пруд, а четыре кружочка близ углов — деревья. Надо расширить пруд до размера, вдвое большего по площади, но так, чтобы деревья не срубать.

Надо разложить шесть копеечных монет в три прямых ряда так, чтобы в каждом ряду было по три копейки.

Надо расположить девять монет в десять рядов по три монеты в каждом ряду. Можно ли это сделать?

Десять монет надо расположить в пять прямых рядов так, чтобы в каждом ряду лежало по четыре монеты.

Прибавлю, что ряды, как и в прежних случаях, могут перекрещиваться.

Девять нулей расставлено так, как показано на рисунке:

В клетках этой решетки расставлено, как видите, 36 нулей.

Сложите из спичек два квадрата один в другом, как показано на рисунке. Внутренний маленький квадрат пусть изображает островок, окруженный канавой. Через эту канаву нужно перекинуть мостик из двух спичек. Как устроить такой мост, обойдясь только двумя спичками?

Вот очень старая спичечная задача, но настолько удачная и поучительная, что с нею полезно познакомиться каждому любителю головоломок.

Из шести спичек составить четыре равносторонних треугольника.

Само собою разумеется, что переламывать спички нельзя.

Задача интересна тем, что с первого взгляда кажется совершенно неразрешимой.

Эту задачу удобно пояснить с помощью спичек. Возьмите коробок. Пусть целая спичка головкой вверх означает папу, а целая спичка головкой вниз — маму. Две половинки спички пусть будут двое мальчиков. Два ряда спичек изображают берега реки. Сам спичечный коробок — лодка на реке.

Задача состоит в следующем:

Папа, мама и два их сына подошли к реке и хотят перебраться на противоположный берег. У берега стоит лодка. Но она чересчур мала: может поднять сразу или только одного взрослого, или же только двоих мальчиков.

И тем не менее вся семья перебралась на другой берег. Как же это было сделано?

Три любителя речного спорта владеют одной лодкой. Они хотят устроиться так, чтобы каждый владелец мог в любое время пользоваться лодкой, но чтобы никто из посторонних не мог ее похитить. Для этого они держат ее на цепи, которая замыкается тремя замками. Каждый имеет только один ключ — и все-таки он может отомкнуть и снова замкнуть цепь своим единственным ключом, не дожидаясь прихода товарищей с их ключами.

Как же они устроились, что у них так удачно получается?

Есть насекомые, грызущие книги — прогрызающие лист за листом и прокладывающие себе таким образом путь сквозь толщу книги. Один такой «книжный червь» прогрыз себе путь от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома, стоявшего рядом с первым, как здесь нарисовано.

Перед вами стол, покрытый скатертью. Вы видите, что складки скатерти делят стол на шесть частей. Воспользуемся этим, чтобы позабавиться занимательной игрой. Расставим в клетках скатерти чайную посуду так, как показано на рисунке: три клетки заняты чашками, одна — чайником, одна — молочником и, наконец, последняя — пустая.

Теперь задайте себе задачу: поменять чайник и молочник местами. Но не просто переставить один на место другого — это не шутка. Нет, их надо поменять местами, передвигая посуду по определенным правилам. А именно:

1) можно двигать посуду только на свободную клетку;

2) переносить одну вещь поверх другой нельзя;

3) ставить в одну клетку больше одной вещи также запрещается.

Нарисуйте на бумажках три чашки, чайник и молочник, разместите их в клетках рисунка и попробуйте, передвигая бумажки по нашим правилам, добиться того, чтобы чайник с молочником поменялись местами.

Работа требует много терпения, но доискаться решения все же можно.

Чтобы в случае удачи вы могли записать свое решение, перенумеруйте всю посуду цифрами, как на рисунке. Тогда вы сможете записывать каждый ваш «ход», т. е. каждое движение посуды. Если, например, вы переместили на свободную клетку рисунка чайник, вы сделали «ход 5». Если после этого вы передвинете на свободную клетку молочник, то сделаете «ход 4», и т. д.

В ответах показано, какие ходы надо сделать, чтобы поменять местами чайник и молочник. Вы можете убедиться, верно ли ваше решение.

Вот как надо сложить пять кусочков.

Квадрат составляется так, как показано здесь на рисунке.

Как нужно разделить земельный участок — показано пунктирными линиями на этом рисунке.

Первым взмахом ножниц вы отрезаете от креста два краевых кусочка, а вторым взмахом разрезаете на две части оставшуюся часть (см. рисунок).

Можно сделать по способу, показанному здесь на рисунке. Как надо сложить разрезанные части яблока, вы, конечно, догадаетесь сами.

Вот решение задачи. Монеты образуют, как видите, пятиконечную «красноармейскую» звезду.

Задача решается так, как показано на чертеже.

Так как из 36 нулей надо зачеркнуть 12, то должно остаться 36–12, т. е. 24, по 4 нуля в каждом ряду. Расположение незачеркнутых нулей таково (см. рисунок).

Чтобы устроить мостик, надо одну спичку положить наискось, срезая угол канавы, и на эту перекладину опереть другую спичку.

Расположение ясно из рисунка.

Вы, вероятно, пытались составить плоскую фигуру из шести треугольников. И конечно, безуспешно, потому что так задача неразрешима. Но ведь никто не мешает вам располагать треугольники в пространстве. И тогда она решается очень просто: стоит лишь построить из шести спичек пирамидку, как показано на рисунке. У вас получается тогда четыре равносторонних треугольника из шести спичек.

Пришлось переправлять лодку через реку девять раз, прежде чем все четверо оказались на другом берегу. Вот эти девять поездок:

туда: обратно:

1) два мальчика;

2) один мальчик;

3) мама; 4) второй мальчик;

5) оба мальчика;

6) один мальчик;

7) папа;

8) второй мальчик;

9) оба мальчика.

Все переправы можно наглядно показать с помощью спичек.

Замки продеваются один сквозь другой, как показано на рисунке. Легко видеть, что эту цепь из трех замков каждый владелец может разнять и вновь замкнуть своим ключом.

Обычно отвечают, что червь прогрыз 800 + 800 страниц да еще две крышки переплета. Но это не так. Поставьте рядом две книги: первую налево, вторую направо, как показано на рисунке на с. 45. И тогда посмотрите, сколько страниц между первой страницей первой книги и последней страницей второй книги. Вы убедитесь, что между ними нет ничего, кроме двух крышек переплета.

Книжный червь испортил, значит, только переплеты книг, не тронув их листов.

Есть много способов сделать то, что требует задача, т. е. поменять местами чайник и молочник. Одни способы решения состоят из большего числа ходов, другие — меньшего. Чем меньше ходов в решении, тем оно лучше. Но меньше чем 17-ю ходами решить задачу нельзя. Вот эти 17 ходов: 5, 4,8,5, 1,2, 5, 3,4, 1,3, 5, 2, 3,1, 4, 5.

Если вы нетвердо помните таблицу умножения и запинаетесь при умножении на девять, то собственные пальцы могут вас выручить. Положите обе руки на стол — десять пальцев послужат для вас счетной машиной.

Пусть надо умножить 4 на 9. Четвертый палец дает вам ответ: налево от него 3 пальца, направо — 6; читаете: 36 — значит, 4 × 9 = 36.

Еще примеры: чему равно 7 × 9?

Седьмой палец имеет налево от себя 6 пальцев, направо 3. Ответ 63.

Чему равно 9 × 9? Девятый палец имеет по левую сторону 8 пальцев, по правую — 1. Ответ 81.

Эта живая счетная машина поможет вам твердо помнить, чему равно 6 × 9 — не спутать 54 и 56. Шестой палец имеет налево 5 пальцев, направо 4; значит, 6 × 9 = 54.

Был ли в XX столетии такой год, который нисколько не изменится, если его перевернуть «головой вниз»?

Который год XIX столетия увеличивается в 4¹/₂ раза, если на него смотреть в зеркало?

Какие два целых числа, если их перемножить, составят семь?

Не забудьте, что оба числа должны быть целые, поэтому такие ответы, как З¹/₂ × 2 или 2¹/₃ × 3, не подходят.

Какие два целых числа, если их сложить, дают больше, чем если их перемножить?

Какие два целых числа, если их перемножить, дают столько же, сколько получается от их сложения?

Какие три целых числа, если их перемножить, дают столько же, сколько получается от их сложения?

Пять тракторов засевают пять гектаров в пять часов. Сколько тракторов засеют сто гектаров в сто часов?

Какие два целых числа, если разделить большее из них на меньшее, дают столько же, сколько получается при их перемножении?

Подумайте, есть ли другие варианты.

Вы видите здесь три числа, подписанные одно под другим:

В эту игру играют двое. Кладут на стол 11 орехов (или семечек и т. п.). Первый игрок берет себе из них один, два или три ореха — сколько пожелает. Затем второй берет тоже один, два или три ореха, по своему желанию. Потом опять берет первый и т. д. Брать больше трех орехов сразу нельзя. Кто берет последний орех, тот проигрывает.

Как нужно играть в эту игру, чтобы выиграть наверняка?

Напишите подряд семь цифр от 1 до 7:

Напишите число сто пятью единицами.

Как написать 100 пятью пятерками?

Написать 100 пятью тройками.

Можно ли пятью двойками написать 28?

Эта задача замысловатее предыдущих. Надо четырьмя двойками написать 111. Возможно ли это?

Очень легко написать четырьмя тройками число 12:

12 = 3 + 3 + 3 +3.

Немного хитрее составить подобным же образом из четырех троек числа 15 и 18:

15 = 3 + 3 + 3 × 3;

18 = 3 × 3 + 3 × 3.

Но если бы потребовалось написать тем же манером четырьмя тройками число пять, вы, вероятно, не сразу догадались бы, что:

Попробуйте же теперь сами отыскать способы, как составить из четырех троек:

число 1

число 2

число 8

число 4

число 6

число 7

число 8

число 9

число 10,

короче говоря — все числа от 1 до 10 (как написать число 5, было уже показано).

Рассказ-задача

Торговец привез на рынок мешки с орехами, скинул с телеги, отправил лошадь назад — и вдруг вспомнил, что ему необходимо отлучиться и притом надолго. Оставить товар без призора нельзя, надо кому-нибудь поручить сторожить, — но кому? «Как бы это устроить подешевле?» — размышлял торговец.

В это время взгляд его упал на мальчика Степку, беспризорного, который ежедневно являлся на рынок в поисках какой-нибудь работы: то тачку перевезет, то поможет овощи раскладывать, то место расчистить — вот и сыт на день. Степка был честный и шустрый мальчик; работу давали ему охотно.

— Степка, постереги орехи, — обратился к нему наш торговец.

— Надолго?

— Не знаю, как придется. А тебе что: я заплачу.

— Сколько же заплатите?

— А сколько тебе хочется? — осторожно осведомился торговец, боясь переплатить. Степка подумал и сказал:

— За первый час дайте один орех.

— Идет. За второй?

— Два.

— Согласен. А если придется и третий час сторожить?

— Тогда прибавите четыре ореха. Коли и тогда не вернетесь, то за четвертый час уплатите восемь орехов; за пятый — шестнадцать, за шестой…

— Ладно, — перебил его торговец, — нечего долго болтать: за каждый следующий час вдвое против предыдущего. Согласен. Только не смей с места уходить: стереги, хотя бы я и до ночи не возвратился.

Торговец ушел, довольный тем, что отыскал дешевого сторожа: за горсть орехов будет хоть целые сутки сторожить.

Справил торговец свое дело только к вечеру. Надо бы на рынок возвратиться, но торговец наш не торопится. «Ночью какая торговля? Товар под надзором, сторож никуда не уйдет. Отсыплю ему еще пригоршню орехов», — подумал торговец и завалился спать.

Тем временем Степка честно сторожил мешки с орехами и нисколько не горевал, что хозяин не является. Наступила ночь, все стали с рынка расходиться, но Степка крепко держал уговор: разлегся у мешков и чему-то ухмыляется.

Если вы справились с предыдущей задачей и имеете охоту к подобным головоломкам, попробуйте составить все числа от 1 до 10 четырьмя четверками. Это нисколько не сложнее, чем составление тех же чисел из троек.

Был только один такой год в XX веке: 1961.

Единственные цифры, которые не искажаются в зеркале, это 1, 0 и 8. Значит, искомый год может содержать в себе только такие цифры. Кроме того, мы знаем, что это один из годов XIX века, т. е. что его первые две цифры 18. Легко сообразить теперь, какой это год: 1818. В зеркале 1818 год превратится в 8181-й: это ровно в 4,5 раза больше, чем 1818:

Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел нет.

Таких чисел сколько угодно:

Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с такими свойствами нет.

1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:

Те же пять тракторов! Ведь 5 тракторов засевают 1 гектар в 1 час; значит, 100 гектаров они засеют за 100 часов.

Таких чисел очень много. Например:

2:1 = 2;

2 × 1 = 2.

7:1 = 7;

7 × 1 = 7.

43: 1 = 43;

43 × 1 = 43.

Вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями):

Если вы делаете первый ход, вы должны взять

2 ореха, остается 9. Сколько бы ни взял после вас второй игрок, вы следующим ходом должны оставить на столе только 5 орехов; легко сообразить, что вы всегда можете это сделать. А сколько бы из этих пяти ни взял ваш противник, вы вслед за ним оставляете ему один орех — и выигрываете.

Если игру начинаете не вы, то ваш выигрыш зависит от того, знает ли противник секрет беспроигрышной игры или нет.

Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:

Написать число 100 пятью единицами очень просто:

5 × 5 × 5 — (5 × 5).

ЗЗ × З + ³/₅ = 100.

22 + 2 + 2 + 2 = 28.

²²²/₃ = 111.

1 =³³/₃₃ (есть и другие способы);

Мы привели здесь только по одному решению, но можно придумать и еще. Например, 8 можно составить не только так, как здесь показано, но еще и так:

Не умел считать торговец, Степка же сосчитал правильно. В самом деле: за первый час Степке причитался 1 орех, за 2-й — 2, за 3-й — 4, за 4-й — 8, за 5-й — 16, за 6-й — 32, за 7-й — 64, за 8-й —128, за 9-й — 256, за 10-й — 512.

Пока как будто не разорительно для торговца: все вместе составляет немного больше тысячи орехов. Но будем продолжать подсчет: за 11-й час Степке следовало 1024 ореха, за 12-й — 2048, за 13-й — 4096, за 14-й — 8192, за 15-й— 16384. Числа получаются изрядные; но какие же тут тысячи тачек? Однако погодите:

Вот любопытный фокус, которым вы можете удивить ваших товарищей.

Возьмите бечевку длиною сантиметров 30 и сделайте на ней слабый (незатянутый) узел, как показано на рисунке. Прибавьте к этой петле вторую. Вы, конечно, ожидаете, что, затянув теперь бечевку, получите надежный двойной узел. Но подождите: мы усложним наш узел еще тем, что один из концов бечевки проводим через обе петли, как показано на следующем рисунке.

Теперь все приготовления закончены; можно приступить к самой главной части нашего фокуса. Держа один свободный конец бечевки, предложите товарищу тянуть за другой. Получится то, чего не ожидали ни вы, ни он: вместо сложного, запутанного узла на бечевке не окажется ровно ничего: гладкая бечевка! Узел куда-то исчезнет…

Этот интересный фокус удастся вам только в том случае, если третью петлю вы сделаете в точности так, как показано на третьем нашем рисунке. Лишь тогда все узлы распутаются при натяжении бечевки сами собой. Всмотритесь же в чертеж внимательно, если желаете, чтобы фокус прошел гладко и не сконфузил вас неудачей.

Свяжите двух товарищей ваших — А и В так, как показано на рисунке: бечевки охватывают запястья обеих рук каждого и перекрещиваются так, что разойтись нет никакой возможности. Однако это только кажется. Существует простой способ разнять пленников, не разрезая бечевок.

Вырежьте из плотной бумаги рамку, пару сапог и овальное кольцо такой формы и сравнительных размеров, какие показаны на рисунке. Отверстие овального кольца одних размеров с шириной рамки, но уже, чем голенища сапог. Поэтому, если вам предложить надеть сапоги на рамку так, как показано на рисунке, то вы, вероятно, сочтете это совершенно неисполнимым делом.

Однако это вполне возможно исполнить, если догадаться, как за дело приняться. Как?

Разгадка фокуса

Секрет состоит в следующем. Рамку сгибают вдоль пополам так, что половина А покрывает половину В. Сложенные концы а и Ъ продевают через овальное кольцо. Затем между сложенными концами а и b продевают распрямленные сапоги, снова сгибают их, придвигают к перегибу рамки и надвигают на них овальное кольцо, как требуется задачей.

Теперь остается только вновь расправить рамку — и задача решена.

На кольце из плотной бумаги висят на короткой бечевке две пробки с надетым на бечевку проволочным колечком. Требуется снять пробки с бумажного кольца. Как это сделать?

Это кажется очень хитрым делом, но если вы справились с предыдущей задачей, то без труда одолеете и эту.

Разгадка фокуса

Секрет очень прост: надо согнуть бумажное кольцо, как показано на рисунке, снять проволочное колечко, сдвинув его к свободному концу; тогда освободить пробки не составит уже никакого труда.

В листке плотной бумаги сделайте рядом два прореза, как показано на рисунке, а под ними круглое отверстие а, чуть шире расстояния между прорезами. Проденьте через отверстие а и прорезы бечевку, к концам которой привяжите по пуговице таких размеров, чтобы они не проходили через отверстие а.

Можете ли вы теперь освободить пуговицы?

Вырежьте из папки два прямоугольника А и В (см. рисунок) размером с записную книжку, например 7 сантиметров длиной и 5 сантиметров шириной. Запаситесь затем тремя обрезками лент (можно, в крайнем случае, обойтись и бумажными полосками), каждая на сантиметр длиннее ширины папочных прямоугольников. Приклейте их к папке таким образом, как показано на нашем рисунке; при этом концы а, b и с подгибают под картон и там приклеивают, а концы d, е и /приклеивают к задней стороне прилегающего прямоугольника.

Помню, в детстве брат застал меня однажды за разрезыванием газетного листа: вооружившись ножницами, я забавлялся тем, что кромсал газету на разные лады.

— Зачем зря кромсать газету? — сказал мне брат. — Давай лучше вырежем из нее несколько заколдованных колец.

Меня очень заинтересовало, какие это будут «заколдованные кольца», и я стал следить за работой брата. Он вырезал из газеты длинную полосу и склеил ее концами, но не так, как здесь показано на верхнем рисунке, а чуть иначе; прежде чем склеить концы, он повернул один конец, и тогда угол 1 пришелся против угла 4, а угол 2 — против угла 3. Получилось кольцо такой формы, как на следующем рисунке.

— Что же в нем замечательного? Кольцо как кольцо!

— Попробуй, например, разрезать его вдоль; что ты получишь?

— Получу два кольца, только поуже, конечно, — уверенно ответил я.

— Так было бы с обыкновенным кольцом. А с этим получится не то.

Я стал резать бумажное кольцо вдоль и, когда окончил, с удивлением увидел, что у меня в руках оказалось не два кольца, а одно, вдвое у́же, но вдвое больше в обхвате.

— А что будет, если ты разрежешь вдоль это кольцо? — спросил брат.

Я уже не решался отгадывать, зная, что меня ожидает новый фокус, и принялся разрезать кольцо вдоль, — благо оно было еще достаточно широко, — желая посмотреть, что из этого получится. Когда я кончил, у меня в руках очутилось на этот раз два кольца, — но разнять их нельзя было, так хитро они были перепутаны.

Бумажное кольцо и в самом деле оказалось словно заколдованным! А все колдовство-то заключалось в том, что один конец повернули перед тем, как его приклеили.

Нарежьте из бумаги, хотя бы газетной, узкие ленты. Вы можете склеить их концы, продев предварительно одно получающееся кольцо через другое. У вас составится бумажная цепь.

Помню, как я любил заниматься в детстве склеиванием подобных цепей, и вспоминаю замысловатую задачу, которую задал мне с этими цепями мой старший брат. Взяв пять таких цепей, каждая из трех колец, он предложил мне соединить их в одну длинную.

— Придется несколько колец разрезать, — сказал я.

— Разумеется, — ответил брат. — Но сколько колец ты собираешься разрезать?

Я стал соображать: пять цепей; соединить их надо в четырех местах; значит, разрезать понадобится четыре кольца.

— А меньше нельзя?

Я объяснил брату, почему меньшим числом колец никак невозможно обойтись: ведь нужно сделать четыре соединения, — ясно, что необходимо четыре разрезанных кольца.

— А все-таки? — не унимался брат.

И так как я твердо стоял на четырех кольцах, не желая уступать ни одного, то брат взял у меня ножницы и принялся сам за соединение цепей.

Представьте, он разрезал всего только три кольца! И как просто у него это вышло: взял одну из пяти цепей, разрезал все три кольца и соединил ими остальные четыре цепи. А мне и в голову не приходило, что можно так сделать.

В детстве брат подал мне однажды исписанную почтовую карточку и спросил:

— Мог ли бы ты через нее пролезть?

Я, конечно, ответил, что это невозможно. Можно вырезать в карточке дыру, через которую с трудом моя рука протиснется, но чтобы самому пролезть — невозможное дело.

— А я тебе покажу, что ты через эту карточку пролезешь. Ну вот, смотри.

Брат перегнул карточку вдоль, сложил ее вдвое, сделал разрез по перегибу, но не доходя до краев вплотную, а затем стал делать ножницами надрезы, как показано на рисунке.

Десять школьников отправились на загородную экскурсию. Прибыли на экскурсионную станцию к вечеру, и надо было думать о ночлеге. Здесь их постигла неудача: свободных коек оказалось только девять. «Значит, одному придется спать на полу», — решили школьники и готовились уже бросать жребий, кому провести ночь в койке и кому на полу.

Тем временем заведующий размышлял: нельзя ли все-таки устроить гостей так, чтобы каждый имел на ночь койку? И представьте: додумался!

— Не для чего жребий бросать, ребята! — сказал он школьникам. — Каждый будет иметь койку на ночь.

— Вы, значит, раздобыли десятую?

— Нет.

— Ну так в одной из коек будут спать двое?

— Тоже нет: в каждой койке будет по одному.

— Да ведь это же невозможно: уложить десять человек в девяти койках по одному в каждой.

— Сейчас увидите, что возможно. Делайте только то, что я вам скажу.

И он стал размещать гостей по койкам. В первую положил первого школьника. Затем попросил десятого школьника лечь временно на ту же койку.

— Только на две минуты. Когда все устроится, каждый из вас будет иметь особую койку.

Устроив так двух из десяти школьников в первой койке, заведующий уложил 3-го школьника во 2-ю койку, 4-го школьника в 3-ю койку и так далее, как показано здесь в табличке:

А так как десятый школьник пока находился вместе с первым в первой койке, то свободную девятую койку заведующий предоставил ему. Вы видите, что ни один школьник не был обижен, каждый имел отдельную койку и мог спокойно спать в ней всю ночь.

Вы удивлены? Странное происшествие, не правда ли? Я с вами согласен: действительно необыкновенный случай! Но, может быть, вы сами догадаетесь, как объяснить этот непостижимый фокус заведующего станцией?

Разгадка фокуса

Дело очень просто: ведь о втором-то школьнике забыли! От первого перескочили прямо к третьему, оставив второго без койки.

Сожмите левой рукой палочку или линейку и охватите запястье этой руки пальцами правой. Затем раскройте пальцы левой руки, прижимая в то же время линейку к ладони концом указательного пальца правой, как показано здесь на рисунке. Если это сделать ловко, то, глядя со стороны, будет казаться, что палочка позади руки держится каким-то непостижимым образом. Не всякий догадается, что ее попросту придерживают пальцем.

На чайном столе стоят три пустых чашки. Выньте из сахарницы 10 кусков сахара и предложите присутствующим разложить их по трем чашкам так, чтобы в каждой из них было нечетное число кусков.

Вам ответят, что этого совершенно невозможно сделать: не существует таких трех нечетных чисел, которые все вместе равны десяти. Однако с помощью маленькой хитрости вы сделаете то, что требуется. А именно: в первую чашку положите пять кусков сахару, во вторую — три куска, в третью — остальные два куска. Затем вторую чашку вставьте в третью.

Вы видите здесь книгу и лист бумаги. Задача состоит в том, чтобы при помощи этого листа бумаги удержать книгу в горизонтальном положении на расстоянии нескольких сантиметров над поверхностью стола. Как это сделать?

Разгадка фокуса

Надо аккуратно разорвать лист бумаги на четыре одинаковые части, свернуть каждую часть в плотную трубочку и установить книгу на этих четырех подпорках, как показано на рисунке. Тогда книга будет находиться в горизонтальном положении на расстоянии нескольких сантиметров от стола. Требование задачи исполнено.

Вы можете сильно озадачить ваших товарищей, показав им карлика, который будет с ними разговаривать, двигать руками, переступать ногами, словом — во всем походить на живого. Это «чудо» показано на первом рисунке.

А на следующем рисунке раскрыт секрет этого чуда: карлик оказывается составным: голова — ваша, ноги — ваши вдетые в сапоги руки, а руки карлика принадлежат вашему помощнику, стоящему позади вас. Одежда скрывает этот обман.

Сходным образом вы можете изобразить великана: каким образом — легко понять из третьего рисунка.

Отодвиньте этот рисунок от глаза приблизительно на расстояние между концом мизинца и концом большого пальца, закройте левый глаз, а правым глядите на крестик. Тогда белый кружок совершенно исчезнет. Вы не увидите его.

Это происходит оттого, что на дне нашего глаза есть небольшой участок, вовсе не чувствительный к свету — слепое пятно. Когда лучи от предмета попадают на этот участок, мы предмета не видим.

Слепое пятно имеется в каждом глазу — правом и левом — каждого человека.

Положите палку так, чтобы она опиралась концами на указательные пальцы ваших рук (см. рисунок). Затем постарайтесь двигать пальцы навстречу друг другу, пока они не окажутся рядом. Вы убедитесь, что палка будет при этом устойчиво держаться на примкнутых пальцах: она подперта, как сказал бы ученый, в «центре тяжести». При этом вы заметите, что хотя вы старались двигать пальцы навстречу один другому, они двигались не так, как вы ожидали, т. е. не одновременно, а один после другого: сначала первый, потом второй, потом опять первый и т. д.

Можно ли положить стальную иглу на воду так, чтобы она не потонула? Многие из вас, наверное, думают, что совершенно невозможно.

Однако если знать, как приняться за дело, то это почти всегда удается сделать. Надо поступить так.

Положите на палец полоску картона такого вида и размера, как проездной билет, а на нее — монету, лучше потяжелее, например 2 или 5 рублей. Можно ли теперь удалить картон таким образом, чтобы монета осталась на пальце?

Пустой спичечный коробок дает возможность сделать прелюбопытный опыт. Поместите обе части коробка одна на другую, как показано на рисунке. Затем предложите кому-нибудь из товарищей ударить сильно кулаком по этому сооружению. Что произойдет?

Вот задача, которая кажется с первого взгляда очень легкой: попробуйте левой рукой и левой ногой одновременно описывать круги в противоположных направлениях.

Вот другая задача в том же роде. Левой рукой похлопывайте себя по левой части груди, а правой в то же время поглаживайте себя сверху вниз по правой части груди.

Дело гораздо труднее, чем кажется: требуется долгое упражнение, чтобы выполнить его успешно.

Приставьте указательные пальцы ваших рук друг к другу, как показано на рисунке, и предложите товарищу разнять эти пальцы, ухватив вас за локти. Не правда ли, очень легкое дело? Казалось бы так, — а между тем товарищ ваш не справится с этой задачей, даже если он сильнее вас. Без большого напряжения вы сможете противостоять самым значительным его усилиям.

Сложите из дюжины спичек сооружение, изображенное на нашем рисунке, и затем постарайтесь поднять всю эту кучу спичек за выступающий конец нижней спички. Если вы достаточно ловки, вам это удастся, и тогда вы поймете, как можно, при известной сноровке и изобретательности, одной спичкой поднять одиннадцать спичек.

Как вы думаете, легко ли сделать то, что изображено на этом рисунке: поднять двумя спичками третью за ее кончик?

— Скажи-ка, дедушка, который год твоему сыну?

— Ему столько же недель, сколько внуку дней.

— А внук в каком возрасте?

— Ему столько лет, сколько мне месяцев.

— Сколько же тебе-то?

— Троим вместе ровно сто лет. Вот и смекни, сколько каждому.

У меня шесть сыновей. У каждого сына есть родная сестра. Сколько у меня детей?

Улитка вздумала взобраться на дерево высотой 15 метров. В течение каждого дня она успевала подниматься на пять метров; но по ночам, во сне, спускалась вниз на четыре метра каждый раз.

Через сколько суток достигнет она вершины дерева?

Через два года мой мальчик будет вдвое старше, чем он был два года назад. А моя девочка будет через три года втрое старше, чем три года назад.

Кто же старше: мальчик или девочка?

Крестьянин ехал в город. Первую половину пути он проехал в поезде — в 15 раз быстрее, чем если бы он шел пешком. Однако вторую половину пути ему пришлось проехать на волах — в два раза медленнее, чем он шел бы пешком. Сколько времени он все же выгадан по сравнению с ходьбой пешком?

Два отца и два сына съели за завтраком три яйца. Замечательно, что каждый из них съел по целому яйцу. Как вы это объясните?

Пильщики распиливают бревно на метровые обрубки. Длина бревна — пять метров. Распиловка бревна поперек отнимает каждый раз полторы минуты времени. За сколько минут они распилили все бревно?

У меня сестер и братьев поровну. А у моей сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько нас?

(Народная задача)

— Дай мне яблоко, и у меня будет вдвое больше, чем у тебя, — сказал один школьник другому.

— Это несправедливо. Лучше дай ты мне яблоко, и у нас будет поровну, — ответил его товарищ.

Можете ли вы сказать, сколько у каждого школьника было яблок?

Пояс с пряжкой стоит 68 копеек. Пояс дороже пряжки на 60 копеек. Сколько стоит пряжка?

Школьников у нас в стране несколько миллионов. У каждого на голове круглым счетом двести тысяч волос. Как вы думаете, сыщутся ли среди них хотя бы двое, у которых было бы совершенно одинаковое количество волос?

На этих полках сосуды трех размеров расставлены так, что общая вместимость сосудов, стоящих на каждой полке, одна и та же. Наименьший сосуд вмещает один стакан. Какова же вместимость сосудов двух прочих размеров?

Сколько здесь нарисовано квадратов? Вы думаете 25. Ошибаетесь!

Когда Алеша услышал в первый раз, что квадратный метр содержит миллион квадратных миллиметров, он не хотел этому верить.

— Откуда их берется там так много? — удивлялся он. — Вот у меня лист миллиметровой бумаги длиною и шириною ровно в метр. Так неужели же в квадрате целый миллион миллиметровых клеточек? Ни за что не поверю!..

— А ты сочти, — посоветовали ему.

Алеша решил так и сделать: пересчитать все клеточки. Встал рано в воскресенье и принялся за счет, аккуратно отмечая точкой каждый отсчитанный квадратик. На пометку одного квадратика уходила у него секунда, и дело шло быстро.

Работал Алеша, не разгибая спины. А все-таки, как вы думаете, убедился он в этот день, что в квадратном метре миллион квадратных миллиметров?

К Мише пришло пятеро друзей, и Мишин папа желал угостить всех мальчиков яблоками. Но яблок оказалось всего лишь пять. Как быть? Обидеть никого не хочется, надо наделить всех шестерых. Придется, конечно, яблоки разрезать. Но разрезать их на очень мелкие кусочки не годится; папа не хотел ни одно яблоко делить больше, чем на три части. И получилась задача: поделить пять яблок поровну между шестью ребятами так, чтобы ни одно яблоко не резать больше, чем на три части.

Как Мишин папа справился с этой задачей?

На складе осталось семь полных бочек меду, семь бочек, наполовину занятых медом, и семь порожних бочек. Все это было куплено тремя магазинами, которым потом понадобилось поделить бочки и мед поровну. Спрашивается: как произвести этот раздел, не перекладывая мед из одной бочки в другую?

Если вы полагаете, что это можно сделать различным образом, укажите все способы, которые вы придумали.

Гражданин купил на почте марки трех родов: в 50 копеек, в 10 копеек и в 1 копейку, — всего 100 штук на 5 рублей.

Можете ли вы сказать, сколько штук марок разного рода он купил?

Гражданин получил 4 рубля 65 копеек рублями, гривенниками[2] и 1-копеечными монетами. Всех монет ему дали 42.

Сколько монет каждого достоинства ему было дано?

Сколько решений имеет эта задача?

Миша очень любит кошек. Увидит где-нибудь брошенного котенка, подберет его и принесет к себе. У него всегда воспитывается несколько котят; но он не любит говорить товарищам — сколько, чтобы над ним не смеялись. Бывало, спросят у него:

— Сколько у тебя теперь всех котят?

— Немного, — ответит он. — Три четверти их числа, да еще три четверти одного котенка, вот и всего котят у меня.

Товарищи думали, что он просто балагурит. А между тем Миша задавал им таким ответом задачу, которую нетрудно решить.

Попытайтесь, решите!

Крестьянка пришла на базар продавать яйца.

Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще пол-яйца. Вторая покупательница взяла половину того, что осталось, и еще пол-яйца. Третья покупательница взяла одно яйцо. После этого у крестьянки ничего не осталось.

Сколько яиц она принесла на базар?

Две крестьянки пришли на базар продавать яйца. У каждой было по 30 яиц. Одна крестьянка продавала яйца парами — по 5 копеек пара. Другая продавала их тройками — по 5 копеек тройка. Когда все яйца были проданы, крестьянки попросили прохожего сосчитать выручку — сами они не умели. Прохожий взял у них выручку и объяснил крестьянкам:

— Одна из вас продавала два яйца за 5 копеек, другая — три яйца за 5 копеек. Короче сказать, вы продавали пяток яиц по гривеннику. Всех яиц у вас было 60, т. е. 12 пятаков. Значит, вы выручили 12 гривенников, или 1 рубль 20 копеек. Получите же их.

И прохожий отсчитал им из выручки 1 рубль 20 копеек. А оставшийся пятак положил себе в карман. Откуда же взялся этот лишний пятак?

Часы отбивают три удара в течение трех секунд. Сколько секунд они будут бить 7 ударов?

В квартире держали несколько совершенно одинаковых кошек; у одной из них родились котята. Стали их взвешивать, и оказалось следующее:

Четыре кошки и три котенка весят вместе 15 килограммов.

Три кошки и четыре котенка — 13 килограммов.

Можете ли вы определить, сколько весили в отдельности каждая кошка и каждый котенок?

Взрослые кошки были одинакового веса, котята — тоже.

Последняя задача этого раздела — шуточная: полузадача-полуфокус.

Составьте из спичек квадрат с девятью клетками и положите в каждую клетку по монете так, чтобы в каждом лежачем и стоячем ряду лежало шесть копеек. На рисунке показано, как должны быть расположены монеты.

Теперь задайте товарищам задачу: не двигая монеты, обведенной кружком, изменить расположение монет так, чтобы в лежачих и стоячих рядах было по-прежнему по шесть копеек.

Вам скажут, что это неисполнимо. Но с помощью маленькой уловки вы совершаете это невозможное дело: запретной монеты вы не трогаете, но весь нижний ряд перекладываете наверх. Расположение изменилось, а монета в кружке не сдвинулась с места!

Рассчитать, сколько лет каждому, нетрудно. Ясно, что сын старше внука в семь раз, а дед — в 12 раз. Если бы внуку был один год, сыну было бы семь лет, деду — 12 лет, а всем троим вместе — 20 лет. Это ровно в 5 раз меньше, чем на самом деле. Значит, в действительности внуку 5 лет, сыну — 35 и деду — 60 лет.

Проверим: 5 + 35 + 60 = 100.

Всех детей семь: шесть сыновей и одна дочь. (Обычно же отвечают, что детей 12; но тогда у каждого сына было бы шесть сестер, а не одна.)

Через 10 суток и 1 день. За 10 суток улитка поднимется на 10 метров, по 1 метру в сутки; в течение же следующего дня она всползет еще на 5 метров, т. е. достигнет верхушки дерева. (Обыкновенно неправильно отвечают: «через 15 суток».)

Ни брат, ни сестра не старше: они близнецы, и каждому из них по шесть лет. Действительно: (6 + 2): (6–2) = 2; (6 + 3): (6–3) = 3. Возраст находят простым расчетом: через два года мальчик будет на четыре года старше, чем два года назад, и притом вдвое старше; значит, четыре года — это возраст его два года назад, и следовательно, сейчас ему 4 + 2 = 6 лет. Таков же и возраст девочки.

Крестьянин ничего не выгадал, а потерял. На вторую половину дороги он употребил столько времени, сколько отняло бы у него все путешествие в город пешком. Значит, он выгадать во времени не может, а должен потерять. Потерял он 15-ю долю того времени, какое нужно, чтобы пройти пешком половину дороги.

Дело объясняется очень просто. Село за стол не четверо, а только трое: дед, его сын и внук. Дед и сын — отцы, а сын и внук — сыновья: дед — отец сына, внук — сын отца.

Часто отвечают: в 1,5 × 5, т. е. в 7,5 минуты. При этом забывают, что последний разрез даст два метровых обрубка. Значит, распиливать пятиметровое бревно поперек придется не пять, а четыре раза; на это уйдет всего 1,5 × 4 = 6 минут.

Всех семеро: четыре брата и три сестры. У каждого брата три брата и три сестры; у каждой сестры — четыре брата и две сестры.

Эта старинная народная задача решается так. Спросим себя: на сколько больше галок для заполнения мест на палках нужно было бы иметь во второй раз? Легко сообразить: в первом случае для одной галки не хватило места, во втором же сидели все галки и еще двух не хватило. Значит, чтобы занять все палки, нужно во второй раз иметь на 1 + 2, т. е. на три галки больше, чем в первый. Садится же на каждую палку на одну птицу больше. Ясно, что всех палок было три. Посадим на каждую палку по галке и прибавим еще одну — получим число птиц: 4.

Итак, вот ответ на вопрос задачи: четыре галки, три палки.

Из того, что передача одного яблока уравнивает их количество у обоих школьников, следует, что у одного на два яблока больше, чем у другого.

Если от меньшего числа отнять одно яблоко и прибавить к большему числу, то разница увеличится еще на два и станет равна четырем. Мы знаем, что тогда большее число будет равно двойному меньшему. Значит, меньшее число тогда будет 4, а большее 8. До передачи одного яблока у одного школьника было 8–1 = 7, а у другого 4+1 = 5.

Проверим, становятся ли числа равными, если от большего отнять одно яблоко и прибавить к меньшему:

Вы, вероятно, решили, что пряжка стоит 8 копеек. Если так, то вы ошиблись. Ведь тогда пояс был бы дороже пряжки не на 60 копеек, а всего на 52 копейки.

Правильный ответ: цена пряжки 4 копейки. Тогда пояс стоит 68 — 4 = 64 копейки, т. е. на 60 копеек дороже пряжки.

Среди школьников наверняка имеются даже не двое, а целые десятки ребят с одинаковым количеством волос. Это следует из того, что число всех школьников больше, чем число волос на голове каждого из них. Школьников с различным числом волос может быть не более двухсот тысяч.

Сколько же волос у двести тысяч первого школьника? Конечно, одно из тех чисел, какое уже насчитывалось у кого-нибудь из первых двухсот тысяч школьников.

Сравнивая первую и третью полку, мы замечаем, что они отличаются друг от друга следующим: на третьей полке один лишний сосуд среднего размера, зато нет трех малых сосудов. А так как общая вместимость сосудов каждой полки одинакова, то, очевидно, вместимость одного среднего сосуда равна вместимости трех малых. Итак, средний сосуд вмещает три стакана.

Теперь остается определить вместимость большого сосуда. Заменив на первой полке средние сосуды соответствующим числом стаканов, мы получаем один большой сосуд и двенадцать стаканов. Сравнив это со второй полкой, соображаем, что один большой сосуд вмещает шесть стаканов.

В тот же день Алеша убедиться в этом никак не мог. Даже если бы он считал круглые сутки беспрерывно, то и тогда насчитал бы в одни сутки только 86 400 клеточек. Ведь в 24 часах всего 86 400 секунд. Ему надо было бы считать без перерывов более десяти дней, а по восемь часов в сутки — целый месяц, чтобы досчитать до миллиона.

Яблоки были разделены таким образом. Три яблока разрезаны были каждое пополам; получилось шесть половинок, которые и роздали ребятам. Остальные два яблока разрезали каждое на три равные доли; получилось шесть третьих долей, которые тоже роздали ребятам. Каждому мальчику было дано, значит, по одной половине и по одной третьей доли яблока, т. е. все получили поровну.

Как видите, ни одно яблоко не было разрезано больше, чем на три равные части.

Задача решается довольно легко, если сообразить, что в 21 купленной бочке было меду 7 + З¹/₂, т. е. 10¹/₂ бочки. Значит, каждый магазин должен получить 8¹/₂ бочки меду и 7 бочек тары. Выполнить дележ можно двояко. По одному способу магазины получают:

По другому способу магазины получают:

Эта задача имеет только одно решение.

Гражданин купил:

Задача имеет четыре решения. Вот они:

Нетрудно понять, что ³/₄ котенка есть четвертая доля всех котят. Значит, всех котят было вчетверо больше, чем ³/₄, т. е. три. Действительно, ³/₄ от трех составляет 2¹/₄, и остается ³/₄ котенка.

Очевидно, крестьянка принесла на базар нечетное количество яиц: тогда половина всех яиц состояла из нецелого числа, а прибавка ¹/₂ яйца превращала число в целое. Что же это было за число? Начнем с конца. После того как вторая покупательница взяла половину оставшихся яиц и еще половину яйца, у крестьянки оказалось только одно яйцо. Значит, одно яйцо и еще ¹/₂ яйца составляют вторую половину того, что осталось после первой покупательницы. Отсюда узнаем, что после первой покупательницы осталось 1¹/₂ + 1¹/₂, т. е. 3 яйца. Прибавив ¹/₂ яйца, получаем половину всего числа яиц, бывших у крестьянки. Итак, крестьянка принесла на базар З¹/₂ + З¹/₂ = 7 яиц.

Прохожий подсчитал выручку неверно. Он принимал, что первая крестьянка продала столько же пар яиц, сколько вторая — троек: тогда средняя цена действительно была бы 10 копеек за пять штук, или две копейки штука. Но на самом деле первая продала 15 пар, вторая же — всего 10 троек. Дорогих яиц продано было больше, чем дешевых, и средняя цена была выше двух копеек за штуку. Истинная выручка равна:

Если часы делают в три секунды три удара, т. е. если два промежутка между ударами длятся три секунды, то продолжительность одного промежутка — ¹/₂ секунды. При семи ударах имеется шесть промежутков. Считая по ¹/₂ секунды на каждый промежуток, имеем, что семь ударов часы должны делать за 6 × 1¹/₂ ⁼ 9 секунд.

Соображаем:

четыре кошки и три котенка весят 15 килограммов,

три кошки и четыре котенка весят 13 килограммов.

Значит, семь кошек и семь котят весят 28 килограммов. Отсюда узнаем вес одной взрослой кошки вместе с одним котенком — 4 килограмма. Теперь узнаем, сколько весят 4 кошки и четыре котенка: умножив четыре килограмма на четыре, получаем 16 килограммов.

Сопоставляем:

четыре кошки и три котенка весят 15 килограммов,

четыре кошки и четыре котенка весят 16 килограммов.

Ясно, что котенок весит 1 килограмм, а вес взрослой кошки — 3 килограмма.

Возьмите в одну руку монету в два рубля, в другую — в пять рублей. Не показывайте и не говорите мне, в какой руке какая монета. Я отгадаю это сам, если вы проделаете следующее: утройте то, что в правой, удвойте то, что в левой, сложите оба полученных числа и скажите мне только, какой получился результат, четный или нечетный.

Этого мне достаточно, чтобы безошибочно решить, какая монета зажата у вас в правой руке и какая — в левой.

Пусть, например, в правой руке у вас два рубля, в левой — пять рублей. Вы подсчитываете в уме: